Das Ziegenproblem

Wie Intuition zu Fehlentscheidungen führen kann


Das Ziegenproblem
Kennst du das Ziegenproblem? Es ist ein wunderbares Beispiel dafür, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt. Dass man andere, aus dem tiefstem Gefühl Recht zu haben, für unfähig halten kann. Eben, weil die Lösung so offensichtlich erscheint, entbrennen oft leidenschaftliche Diskussionen darüber, wer Recht hat.

Doch zunächst, was ist das Ziegenproblem eigentlich?

Das Ziegenproblem ist eine Aufgabe aus dem Feld der Wahrscheinlichkeitstheorie, die auf einen Leserbrief im American Statistician 1975 von Steve Selvin zurückgeht. Und in einer Variante von 1990 in der „Ask Marilyn“-Kolumne des Parade Magazines wurde diese Aufgabe berühmt. Sie lautet:

„Nimm an, du wärst in einer Spielshow und hättest die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den beiden anderen sind Ziegen. Du wählst ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt dich nun: ‚Möchtest du das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“

Intuitiv scheint ein Türwechsel keinen Vorteil zu bringen - zumindest ist das bei den meisten Menschen so. Und so bekam Marilyn auf die einfach erscheinende Antwort mehr als 10.000 Leserbriefe, die vor allem die Richtigkeit der Antwort bezweifelten. Marilyn antwortete nämlich: „Ja, du solltest wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3“.

Bevor du nun weiterliest, halte kurz inne und durchdenke das Ziegenproblem.
Hier nochmal die Zusammenfassung des Ziegenproblems:

Ziel: das Tor mit dem Auto erraten
Ablauf:
  1. Du wählst eins von drei Toren, das zunächst verschlossen bleibt.
  2. Danach öffnet der Moderator ein anderes Tor hinter dem eine Ziege steht.
  3. Jetzt hast du einmal die Möglichkeit dich umzuentscheiden.
Frage: Stimmt es, dass, wenn du vom ursprünglich gewählten Tor zu dem anderen ungeöffneten Tor wechselst, sich die Wahrscheinlichkeit für deinen Gewinn verdoppelt?

----------------  Hier bitte das Ziegenproblem durchdenken ----------------

Welchen Leserbrief würdest du schreiben?

 

Die Antwort von Marilyn erscheint zunächst kontraintuitiv. Doch kann man sich die Richtigkeit dieser Antwort auf folgende Weise veranschaulichen.

Wenn du zu Beginn ein Tor öffnest, liegt deine Gewinnwahrscheinlichkeit bei 1/3, denn nur hinter einem von 3 Toren ist ein Auto. Das heißt, egal welches Tor du nimmst, selbst, wenn du dich jetzt nochmal umentscheidest, bleibt deine Gewinnchance bei 1/3. Die anderen 2/3 sind auf die verbleibenden Tore verteilt. Nachdem nun durch den Moderator die zweite Ziege aus dem Rennen ist, ist die Wahrscheinlichkeit für die übrigen 2/3 auf ein Tor reduziert worden. Das heißt, wenn du nun wechselst, verdoppelst du deine Gewinnchance. Intuitiv ist das für die meisten Menschen nicht zu verstehen, mathematisch dagegen schon.

Noch klarer wird es, wenn man die Anzahl der Ziegen erhöht. Stell dir vor, statt 3 sind es 10 Tore und hinter 9 Toren sind Ziegen. Du wählst ein Tor. Zugegeben, die Wahrscheinlichkeit für ein Auto hinter deinem Tor ist hier eher gering. Dann öffnet der Moderator 8 Tore mit Ziegen. Nur zwei Tore bleiben geschlossen. Bei deiner ersten Wahl hattest du eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/10 und nun? Wäre es schlau zu wechseln?

Und am eindeutigsten ist es, wenn du das Experiment selber machst. 

Wenn du erleben möchtest, wie heftig Menschen diskutieren können, wenn etwas gegen ihre Intuition verstößt, diskutiere das Ziegenproblem mit deinen Bekannten :-)

 

Viel Spaß dabei!


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Bildquelle: Wikipedia

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